Python [AtoZ] Chapter 07. 이진탐색

[ Table of Contents ]

범위를 반씩 좁혀가는 탐색

1. 순차 탐색

2. 이진 탐색 : 반으로 쪼개면서 탐색하기

3. 트리 자료구조

4. 이진 탐색 트리

 

실전 문제

1. 부품 찾기

2. 떡볶이 떡 만들기

 

기출 문제

1. 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기

2. 고정점 찾기

3. 공유기 설치

4. 가사 검색

[ Abstract ]

1.

2.

3.

4.

5. 

 

범위를 반씩 좁혀가는 탐색

1. 순차 탐색

이번 장에서는 리스트 내에서 데이터를 매우 빠르게 탐색하는 이진 탐색 알고리즘에 대해서 공부하겠다. 그전에 가장 기본 탐색 방법인 순차 탐색에 대해 먼저 이해할 필요가 있다. 1장부터 차례대로 읽은 독자라면 이미 자연스럽게 순차 탐색의 원리를 익혔다. 사실 지금까지 예제 문제에서 N개의 데이터가 있을 때, 그 데이터를 차례대로 하나씩 확인하여 어떠한 처리를 해준 경우가 많았는데 그 자체로도 이미 순차 탐색이라고 할 수 있다. 예를 들어 Chap.03의 거스름돈 문제에서 가장 큰 화폐 단위부터 확인(탐색)해서 각 단위에 대하여 처리한 것을 기억해보자.

이와 같이 순차 탐색Sequential Search이란 리스트 안에 있는 특정한 데이터를 찾기 위해 앞에서부터 데이터를 하나씩 차례대로 확인하는 방법이다. 보통 정렬되지 않은 리스트에서 데이터를 찾아야 할 때 사용한다. 리스트 내에 데이터가 아무리 많아도 시간만 충분하다면 항상 원하는 원소(데이터)를 찾을 수 있다는 장점이 있다.

 

 

순차 탐색은 이름처럼 순차로 데이터를 탐색한다는 의미이다. 리스트의 데이터에 하나씩 방문하며 특정한 문자열과 같은지 검사하므로 구현도 간단하다. 순차 탐색은 정말 자주 사용되는데, 리스트에 특정 값의 원소가 있는지 체크할 때도 순차 탐색으로 원소를 확인하고, 리스트 자료형에서 특정한 값을 가지는 원소의 개수를 세는 count() 메서드를 이용할 때도 내부에서는 순차 탐색이 수행된다.

데이터 정렬 여부와 상관없이 가장 앞에 있는 원소부터 하나씩 확인해야 한다는 점이 특징이다. 따라서 데이터의 개수가 N개일 때 최대 N번의 비교 연산이 필요하므로 순차 탐색의 최악의 경우 시간 복잡도는 O(N)이다.

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2. 이진 탐색 : 반으로 쪼개면서 탐색하기

이진 탐색Binary Search은 배열 내부의 데이터가 정렬되어 있어야만 사용할 수 있는 알고리즘이다. 데이터가 무작위일 때는 사용할 수 없지만, 이미 정렬되어 있다면 매우 빠르게 데이터를 찾을 수 있다는 특징이 있다. 이진 탐색은 탐색 범위를 절반씩 좁혀가며 데이터를 탐색하는 특징이 있다.

이진 탐색은 위치를 나타내는 변수 3개를 사용하는데 탐색하고자 하는 범위의 시작점, 끝점, 그리고 중간점이다. 찾으려는 데이터와 중간점Middle 위치에 있는 데이터를 반복적으로 비교해서 원하는 데이터를 찾는 게 이진 탐색 과정이다.

 

 

이미 정렬된 10개의 데이터 중에서 값이 4인 원소를 찾는 예시를 살펴보자.

Step1 시작점과 끝점을 확인한 다음 둘 사이에 중간점을 정한다. 중간점이 실수일 때는 소수점 이하를 버린다. 중간점은 (4.5 (Idx)에서 소수점 이하를 버렸기 때문) 4 (Idx)이다. 중간점의 데이터 8 과 찾으려는 데이터 4 를 비교한다. 중간점의 데이터 8이 더 크므로 중간점 이후의 값은 확인할 필요가 없다. 끝점을 중간값-1의 인덱스로 옮긴다.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

시작점 : 0 (Idx)

중간점 : 4 (Idx)

끝점 : 9 (Idx)

 

 

Step2 시작점은 0 (Idx), 끝점은 중간값-1 (여기서, 4-1=3) (Idx), 중간점은 (1.5 (Idx)에서 소수점 이하를 버려서) 1 (Idx)이다. 중간점에 위치한 데이터 2는 찾으려는 데이터 4보다도 작으므로 이번에는 값이 2이하인 데이터는 더 이상 확인할 필요가 없다. 따라서 시작점을 2 (Idx)로 변경한다.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

시작점 : 0 (Idx)

중간점 : 1 (Idx)

끝점 : 3 (Idx)

 

 

Step3 시작점은 2 (Idx), 끝점은 3 (Idx)이다. 이때 중간점은 (2.5 (Idx)에서 소수점 이하를 버려서) 2 (Idx)이다. 중간점에 위치한 데이터 4는 찾으려는 데이터 4와 동일하므로 이 시점에서 탐색을 종료한다.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

시작점과 중간점 : 2 (Idx)

끝점 : 3 (Idx)

 

 

전체 데이터의 개수는 10개이지만, 이진 탐색을 이용해 총 3번의 탐색으로 원소를 찾을 수 있었다. 이진 탐색은 한 번 확인할 때마다 확인하는 원소의 개수가 절반씩 줄어든다는 점에서 시간 복잡도가 O(logN)이다. 절반씩 데이터를 줄어들도록 만든다는 점은 앞서 다룬 퀵 정렬과 공통점이 있다.

간단히 부가 설명을 하자면, 이진 탐색 알고리즘은 한 단계를 거칠 때마다 확인하는 원소가 평균적으로 절반으로 줄어든다. 즉, 단계마다 2로 나누는 것과 동일하므로 연산 횟수는 log₂N에 비례한다고 할 수 있다. 이는 빅오 표기법에 따라서 간단히 O(logN)이라고 작성한다.

 

 

이진 탐색을 구현하는 방법에는 2가지가 있는데 하나는 재귀 함수를 이용하는 방법이고, 다른 하나는 단순하게 반복문을 이용하는 방법이다. 먼저 재귀 함수를 이용한 코드를 보자.

mid = (start + end) // 2 는 중간점을 의미한다. 2로 나눈 몫만 구하기 위해 몫 연산자(//)를 사용한 것이다. 앞서 그리디 부분에서는 '큰 수의 법칙' 문제를 풀 때에는 나눈 뒤에 몫을 구하기 위해 int() 함수를 이용했다. 기능 면에서는 두 코드 모두 나눈 몫을 구하는 코드이다.

#이진 탐색 소스코드 구현(재귀 함수)
def binary_search(array, target, start, end):
    if start > end:
        return None
    mid = (start + end) // 2
    #찾을 경우 중간점 인덱스 반환
    if array[mid] == target:
        return mid
    #중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
    elif array[mid] > target:
        return binary_search(array, target, start, mid-1)
    #중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
    else:
        return binary_search(array, target, mid+1, end)

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 문자열)을 입력받기
n, target = list(map(int, input().split())) #10 7
#전체 원소 입력받기
array = list(map(int, input().split())) #1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

#이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n-1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result+1) #4

 

 

다음은 단순하게 반복문을 사용한 코드이다. 실행 결과는 재귀 함수와 같다.

#이진 탐색 소스코드 구현(반복문)
def binary_search(array, target, start, end):
    while start <= end:
        mid = (start + end) // 2
        #찾은 경우 중간점 인덱스 반환
        if array[mid] == target:
            return mid
        #중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 작은 경우 왼쪽 확인
        elif array[mid] > target:
            end = mid - 1
        #중간점의 값보다 찾고자 하는 값이 큰 경우 오른쪽 확인
        else:
            start = mid + 1
    return None

# n(원소의 개수)과 target(찾고자 하는 문자열)을 입력받기
n, target = list(map(int, input().split()))
#전체 원소 입력받기
array = list(map(int, input().split()))

#이진 탐색 수행 결과 출력
result = binary_search(array, target, 0, n-1)
if result == None:
    print("원소가 존재하지 않습니다.")
else:
    print(result + 1)

 

 

코딩 테스트에서의 이진 탐색

단순히 앞의 코드를 보고 이진 탐색이 단순하다고 느낄 수 있지만, 정작 참고할 소스코드가 없는 상태에서 이진 탐색의 소스코드를 구현하는 것은 상당히 어려운 작업이 될 수 있다.

존 벤틀리의 말에 따르면 제대로 이진 탐색 코드를 작성한 프로그래머는 10% 내외라 할 정도로 실제 구현은 까다롭다.

이진 탐색은 코딩 테스트에서 단골로 나오는 문제이니 가급적 외우길 권한다.

이진 탐색의 원리는 다른 알고리즘에서도 폭넓게 적용되는 원리와 유사하기 때문에 매우 중요하다. 또 높은 난이도의 문제에서는 이진 탐색 알고리즘이 다른 알고리즘과 함께 사용되기도 한다. 예를 들어 대회에서 그리디 알고리즘과 이진 탐색 알고맂므을 모두 사용해서 풀어야 하는 문제가 출제된 적이 있는데, 이런 문제는 난이도가 상당히 높은 데다가 구현할 코드량이 많아 실수하기 쉽다. 이때 이진 탐색 코드만 암기하고 있어도 꽤 도움이 된다.

더불어 코딩 테스트의 이진 탐색 문제는 탐색 범위가 큰 상황에서의 탐색을 가정하는 문제가 많다. 따라서 탐색 범위가 2,000만 건을 넘어가면 이진 탐색으로 문제에 접근해보길 권한다. 처리해야 할 데이터의 개수나 값이 1,000만 단위 이상으로 넘어가면 이진 탐색과 같이 O(logN)의 속도를 내야 하는 알고리즘을 떠올려야 문제를 풀 수 있는 경우가 많다는 점을 기억하자.

 

 

3. 트리 자료구조

이진 탐색은 전제 조건이 데이터 정렬이다. 예를 들어 동작하는 프로그램에서는 데이터를 정렬해두는 경우가 많으므로 이진 탐색을 효과적으로 사용할 수 있다. 데이터베이스는 내부적으로 대용량 데이터 처리에 적합한 트리Tree 자료구조를 이용하여 항상 데이터가 정렬되어 있다. 따라서 데이터베이스에서의 탐색은 이진 탐색과는 조금 다르지만, 이진 탐색과 유사한 방법을 이용해 탐색을 항상 빠르게 수행하도록 설계되어 있어서 데이터가 많아도 탐색하는 속도가 빠르다.

그렇다면 트리 자료구조가 무엇인지 간단하게 알아보자. 트리 자료구조는 노드와 노드의 연결로 표현하며 여기에서 노드는 정보의 단위로서 어떤한 정보를 가지고 있는 개체로 이해할 수 있다. Chap.05에서 그래프를 다룰 때 언급했던 노드와 동일하다. 최단 경로에서는 노드가 '도시'와 같은 정점의 의미를 가진다고 하였다. 트리 자료구조는 그래프 자료구조의 일종으로 데이터베이스 시스템이나 파일 시스템과 같은 곳에서 많은 양의 데이터를 관리하기 위한 목적으로 사용한다.

 

 

트리 자료구조는 몇 가지 주요한 특징이 있다.

1) 트리는 부모 노드와 자식 노드의 관계로 표현된다.

2) 트리의 최상단 노드를 루트 노드라고 한다.

3) 트리의 최하단 노드를 단말 노드라고 한다.

4) 트리에서 일부를 떼어내도 트리 구조이며 이를 서브 트리라 한다.

5) 트리는 파일 시스템과 같이 계층저깅고 정렬된 데이터를 다루기에 적합하다.

 

 

4. 이진 탐색 트리

트리 자료구조 중에서 가장 간단한 형태가 이진 탐색 트리이다. 이진 탐색 트리란 이진 탐색이 동작할 수 있도록 고안된, 효율적인 탐색이 가능한 자료구조이다. (참고 : 이진 탐색 그리기 사이트)

이진 탐색 트리

보통 이진 탐색 트리는 위 그림과 같은데 모든 트리가 다 이진 탐색 트리는 아니며, 다음과 같은 특징을 가진다.

1) 부모 노드보다 왼쪽 자식 노드가 작다.

2) 부모 노드보다 오른쪽 자식 노드가 크다.

 

 

이진 탐색 트리에 데이터를 넣고 빼는 방법은 알고리즘보다는 자료구조에 가까우며, 이진 탐색 트리 자료구조를 구현하도록 요구하는 문제는 출제 빈도가 낮으므로, 이 책에서는 이진 탐색 트리를 구현하는 방법은 소개하지 않는다.

따라서  이진 탐색 트리가 미리 구현되어 있다고 가정하고 다음 그림과 같은 이진 탐색 트리에서 데이터를 조회하는 과정만 살펴보겠다. 다음은 찾는 원소가 37일 때 동작하는 과정이다.

Step1 이진 탐색은 루트 노드부터 방문한다. 루트 노드는 30이고 찾는 원소값은 37이다. 공식에 따라 부모 노드의 왼쪽 자식 노드는 30이하이므로 왼쪽에 있는 모든 노드는 확인할 필요가 없다. 따라서 오른쪽 노드를 방문한다.

Step2  오른쪽 자식 노드인 48이 이번에는 부모 노드이다. 48은 찾는 원소값인 37보다 크다. 공식에 따라 48의 오른쪽 자식 노드는 모두 48 이상이므로 확인할 필요가 없다. 따라서 왼쪽 노드를 방문한다.

Step3  현재 방문한 노드의 값인 37과 찾는 원소값인 37이 동일하므로 탐색을 마친다.

이진 탐색 트리에서 데이터 조회는 동작 원리만 살펴보면 간단하게 느껴진다. 자식 노드가 없을때가지 원소를 찾지 못했다면, 이진 탐색 트리에 원소가 없는 것이다.

 

 

빠르게 입력받기

sys 라이브러리를 사용할 때는 한 줄 입렵받고 나서 rstrip() 함수를 꼭 출해야 한다. 소스코드에 readline()으로 입력하면 입력 후 엔터Enter가 줄 바꿈 기호로 입력되는데, 이 공백 문자를 제거하려면 rstrip() 함수를 사용해야 한다. 코드가 짧으니 관행적으로 외워서 사용하자.

 

 

실전 문제

1. 부품 찾기

[난이도: 하 / 풀이시간: 20분 / 시간제한: 1초 / 메모리제한: 128MB]

[입력 조건]

[출력 조건]

 

문제 해설

ㅇ

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2.  떡볶이 떡 만들기

[난이도: 하 / 풀이시간: 20분 / 시간제한: 1초 / 메모리제한: 128MB]

[입력 조건]

[출력 조건]

 

문제 해설

ㅇ

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기출 문제

1. 정렬된 배열에서 특정 수의 개수 구하기

2. 고정점 찾기

3. 공유기 설치

4. 가사 검색

 

 

이 글은 주인장의 자습 목적을 위해 <이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬>을 99.99% 참고하여 만들었다.